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如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求所得旋转体的表面积及体积.

解:由题意,线段AB旋转一周形成圆柱的侧面,线段CB旋转一周形成圆C,CD旋转一周形成圆锥的侧面,线段AD旋转一周形成一个圆环,
∵∠DCB=60°,∴圆锥的底面半径为r=a,母线l=2a,高为a
∴旋转体的表面积S=S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧+S圆环=2π•2a•a+π•(2a)2+π•a•2a+π[(2a)2-a2]=…(7分)
该旋转体的体积是经AB为母线的圆柱体积减去以CD为母线的圆锥的体积,即
V=π•(2a)2a-π•a2a=…(14分)
分析:根据该旋转体的外形分析其结构可得,它是在一个底面半径为2a、高为的圆柱中挖去一个底面半径为a、高为的圆锥,由此不难请计算出它的表面积和体积.
点评:本题给出一个特殊的旋转体,要我们求的表面积与体积,着重考查了圆柱、圆锥的侧面积和体积等公式,属于基础题.
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A、选修4-1:几何证明选讲

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B、选修4-2:矩形与变换

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C、选修4-4:坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。

D、选修4-5:不等式选讲

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