Question

14．（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥4．
（2）设x，y为实数，若4x²+y²+xy=1，求2x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）通分后对分母使用基本不等式；
（2）将4x²+y²+xy=1移项后得4x²+y²=1-xy≥4xy，从而得出∴xy≤$\frac{1}{5}$．将所求式子两边平方可求出最大值．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{1}{xy}$≥4．
（2）∵4x²+y²+xy=1，
∴4x²+y²=1-xy≥4xy，
∴xy≤$\frac{1}{5}$．
∴（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1+3xy≤$\frac{8}{5}$，
∴-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$≤2x+y≤$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴2x+y的最大值是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，是基础题．