Question

13．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求$\frac{|PF|}{|PM|}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；
（Ⅱ）过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则$\frac{|PF|}{|PM|}$=$\frac{|PA|}{|PM|}$=sin∠PMA，故当PA和抛物线相切时，$\frac{|PF|}{|PM|}$最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得$\frac{|PF|}{|PM|}$的最小值．

解答 解：（I）因焦点F（$\frac{p}{2}$，0），所以直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
与抛物线y²=2px联立，消去y得4x²-20px+p²=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=5p，
∴|AB|=x₁+x₂+p=6p=12，∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．（6分）
（Ⅱ）由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=-1
过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，
则$\frac{|PF|}{|PM|}$=$\frac{|PA|}{|PM|}$=sin∠PMA，∠PMA为锐角．
故当∠PMA最小时，$\frac{|PF|}{|PM|}$最小，
故当PM和抛物线相切时，$\frac{|PF|}{|PM|}$最小．
设切点P（a，2$\sqrt{a}$），则PM的斜率为$\frac{2\sqrt{a}-0}{a+1}$=（2$\sqrt{x}$）′=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2$\sqrt{2}$sin∠PMA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查抛物线与直线方程的综合应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．