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    1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2$\sqrt{2}x-y+3+8\sqrt{2}$=0和圆C1：x2+y2+8x+F=0．若直线l被圆C1截得的弦长为2$\sqrt{3}$．
    （1）求圆C1的方程；
    （2）设圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论．

    分析 （1）把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离即为弦心距，然后根据垂径定理及勾股定理利用圆的半径及弦心距列出方程，即可求出F，得到圆的方程；
    （2）先令圆方程中y=0分别求出点A和点B的坐标，可设出点P的坐标，分别表示出直线PA和PB的斜率，然后写出直线PA和PB的方程，分别令直线方程中y=0求出M与N的坐标，因为MN为圆C2的直径，根据中点坐标公式即可求出圆心的坐标，根据两点间的距离公式求出MN，得到圆的半径为 $\frac{1}{2}$MN，写出圆C2的方程，化简后，令y=0求出圆C2过一定点，再利用两点间的距离公式判断出此点在圆C1的内部，得证；

    解答 解：（1）圆C1：（x+4）2+y2=16-F，
    则圆心（-4，0）到直线2$\sqrt{2}$x-y+3+8$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|-8\sqrt{2}+3+8\sqrt{2}|}{3}$=1
    根据垂径定理及勾股定理得：（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）2+12=16-F，F=12
    ∴圆C1的方程为（x+4）2+y2=4；
    （2）令圆的方程（x+4）2+y2=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则A（-6，0），B（-2，0）
    设P（x0，y0）（y0≠0），则（x0+4）2+y02=4，得到（x0+4）2-4=-y02①
    ∴kPA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$则lPA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$（x+6），M（0，$\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}$）
    ∴则lPB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
    圆C2的方程为x2+（y-$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）2=（$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）2
    完全平方式展开并合并得：x2+y2-2（$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）y+$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{（x}_{0}+4）^{2}-4}$=0
    将①代入化简得x2+y2-（$\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）y-12=0，
    令y=0，得x=±2$\sqrt{3}$，
    又点Q（-2$\sqrt{3}$，0），
    由Q到圆C1的圆心（-4，0）的距离d=$\sqrt{（4-2\sqrt{3}）^{2}+0}$=4-2$\sqrt{3}$＜2，则点Q在圆C1内，
    所以当点P变化时，以MN为直径的圆C2经过圆C1内一定点（-2$\sqrt{3}$，0）；

    点评 本题考查学生灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，会根据直径的两个端点的坐标求出圆的方程以及掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用30°的直角三角形的边的关系及两点间的距离公式化简求值，是一道比较难的题．

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