Question

将编号为1、2、3的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知1号小球放入甲盒，2号小球放入乙盒，3号小球放入丙盒的概率分别为

3

5

，

1

2

，p，记1号小球放入甲盒为事件A，2号小球放入乙盒为事件B，3号小球放入丙盒为事件C，事件A、B、C相互独立．
（Ⅰ）若p=

1

2

，求事件A、B、C中至少有两件发生的概率；
（Ⅱ）若事件A、B、C中恰有两件发生的概率不低于

2

5

，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据三个事件相互独立，可以得到三个事件至少有两件发生包括四种情况，即有两件发生和三件发生，根据相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
（II）利用相互独立事件同时发生的概率公式写出事件恰有两件发生的概率，得到关于p的不等式，解出不等式得到结果，注意概率本身的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵事件A、B、C相互独立
∴事件A、B、C中至少有两件发生的概率为P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

=

11

20

…（6分）
（Ⅱ）依题意有P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)≥

2

5

…（9分）
即

3

5

×

1

2

×(1-p)+

3

5

×

1

2

×p+

2

5

×

1

2

×p≥

2

5

∴

2p

10

≥

1

10

解得p≥

1

2

…（11分）
∵p≤1
所以p的取值范围是[

1

2

，1]…（12分）

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件的概率公式以及概率的性质，本题解题的关键是认识事件的关系，不要忽略掉概率本身的性质，本题是一个基础题．