Question

定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

⊙

b

=mq-np，则下列说法错误的是（　　）

• A．若

  a

  与

  b

  共线，则

  a

  ⊙

  b

  =0．
• B．

  a

  ⊙

  b

  =

  b

  ⊙

  a

  ．
• C．对任意的λ∈R，有(λ

  a

  )⊙

  b

  =λ（

  a

  ⊙

  b

  ）．
• D．(

  a

  ⊙

  b

  )2+(

  a

  ?

  b

  )2=|

  a

  |2|

  b

  |2．

Answer 1

分析：根据两个向量共线的坐标表示，可得A项正确；根据运算“⊙”的含义加以验证，可得B项不正确；根据向量的坐标运算法则与运算“⊙”的含义加以证明，可得C项正确；根据向量数量积的公式、运算“⊙”的含义与向量模的公式加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于A，若

a

与

b

共线，则mq-np=0．由此可得

a

⊙

b

=mq-np=0，所以A项正确；
对于B，因为

a

⊙

b

=mq-np，而

b

⊙

a

=np-mq，所以

a

⊙

b

≠

b

⊙

a

，故B不正确；
对于C，因为当λ∈R时，(λ

a

)=（λm，λn），

b

=(p，q)，所以(λ

a

)⊙

b

=λmq-λnp．
又有λ（

a

⊙

b

）=λ（mq-np）=λmq-λnp，因此可得(λ

a

)⊙

b

=λ（

a

⊙

b

），故C正确；
对于D，因为(

a

⊙

b

)2=（mq-np）²，(

a

•

b

)2=（mp+nq）²，
所以(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp+nq）²
=m²q²+m²p²+n²q²+n²p²=m²（p²+q²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²），
又有|

a

|2|

b

|2=（m²+n²）（p²+q²），因此可得(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2成立，故D正确．
综上所述，只有B选项是错误的．
故选：B

点评：本题给出新定义，判断几个等式正确与否．着重考查了平面向量的数量积及其运算性质、向量模的公式、向量共线的坐标表示等知识，属于中档题．