Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=$\frac{π}{3}$，且b=3$\sqrt{3}$，a=2．
（1）求sin2A；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求得sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{1}{3}$，利用大边对大角可得A为锐角，从而可求cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$，利用倍角公式即可得解；
（2）由余弦定理可求得c的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵B=$\frac{π}{3}$，且b=3$\sqrt{3}$，a=2．
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2×sin\frac{π}{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∵b=3$\sqrt{3}$＞a=2．
∴A为锐角，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，且b=3$\sqrt{3}$，a=2．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得：27=4+c²-2c，整理可解得：c=1+2$\sqrt{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×（1+2\sqrt{6}）×sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．