Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点，使

OP

=m

OA

+n

OB

．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA²+OB²的值．

Answer 1

分析：（1）由△FMN面积S=

1

2

×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，可得cb=1，再有离心率公式e=

c

a

=

2

2

及a²=b²+c²即可得到a，b，c；
（2）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把点A，B代入椭圆方程可得

x 2 1

2

+

y

2 1

=1③，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1④，又Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点可得m²+n²=1⑤，
由

OP

=m

OA

+n

OB

，得到

x=mx1+nx2 y=my1+ny2.

因P在椭圆上，故

(mx1+nx2)2

2

+(my1+ny2)2=1． 把③④⑤代入上式即可得出x₁，y₁，x₂，y₂，满足的式子即可证明结论；
②利用①的结论kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

为定值．可得故

y

2 1

+

y

2 2

=1． 及  又(

x 2 1

2

+

y

2 1

)+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)=2，可得

x

2 1

+

x

2 2

=2．故可证明OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

为定值．

解答：解：（1）由椭圆的离心率为

2

2

，得

c

a

=

2

2

①，
又△FMN面积S=

1

2

×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，
由①②及a²=b²+c²可解得：a²=2，b²=c²=1，
故椭圆E的方程是

x2

2

+y2=1． 
（2）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1③，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1④，
又m²+n²=1⑤，
因

OP

=m

OA

+n

OB

，故

x=mx1+nx2 y=my1+ny2.

因P在椭圆上，故

(mx1+nx2)2

2

+(my1+ny2)2=1．      
整理得(

x 2 1

2

+

y

2 1

)m2+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)n2+2(

x1x2

2

+y1y2)mn=1．
将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：

x1x2

2

+y1y2=0．
所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

为定值．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x 2 1

2

•

x 2 2

2

=(1-

y

2 1

)(1-

y

2 2

)=1-(

y

2 1

+

y

2 2

)+

y

2 1

y

2 2

，
故

y

2 1

+

y

2 2

=1．                 
又(

x 2 1

2

+

y

2 1

)+(

x 2 2

2

+

y

2 2

)=2，故

x

2 1

+

x

2 2

=2．所以OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

=3．

点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识，需要较强运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．