Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的定义域为R，它的图象关于原点对称，且当x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A、B，使过A、B两点的切线都垂直于直线AB．

Answer 1

分析：（1）通过图象关于原点对称求出b的值，再根据当x=-1时，函数取极值1，建立两个方程组，解之即可；
（2）由过A、B两点的切线都垂直于直线AB可知两切线平行，根据切线与AB垂直建立等量关系，验证判别式是否大于零即可．

解答：解：（1）由已知，f（-x）=-f（x），即bx²=0恒成立，
故b=0．所以f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
由

f′(-1)=0 f(-1)=1

得

3a+c=0 -a-c=1

，
解得a=

1

2

，c=-

3

2

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
由f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，过A、B两点的切线平行，故f′（x₁）=f′（x₂），
得：x₁²=x₂²．由于x₁≠x₂，所以x₁=-x₂，
于是y₁=-y₂，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

．因为过A点的切线垂直于直线AB，
所以(

3

2

x12-

3

2

)(

1

2

x12-

3

2

)=-1?3x14-12x12+13=0，△=-12＜0，方程无解．
因此，不存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于直线AB．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题．