Question

已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．
（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？
（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）

Answer 1

分析：（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．
（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．

解答：解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．
设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．
由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米
经计算得AB的弧长：6371×π×

8°

180°

≈889.56(千米)
889.56÷720≈1.2（小时）
∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）
（2）设里斯本为C，过B作 与赤道平面平行的球面的截面，
设其圆心为O′，由已知得
∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°
OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°
由余弦定理可得
BC²=O′B²+O′C²-2O′B•O′Ccos131°=2r²cos²39°（1-cos131°）
cos∠BOC=

OB2+OC2-BC2

2•OB•OC

=

2r2-2r2cos239°( 1-cos131°)

2r2

≈-1.87×10^-4
∴∠BOC≈90.01°
于是大圆的弧长BC为6371×π×

90.01°

180°

≈ 10009(千米)
∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．

点评：本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．