Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2cos（B-C）=4sinBsinC-1．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S_△ABC．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用两角和公式整理已知等式可求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用正弦定理把已知等式转化成边的关系，再利用余弦定理求得b和c，最后通过三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）2cos（B-C）=2cosBcosC+2sinBsinC=4sinBsinC-1．
∴2cos（B+C）=-2cosA=-1，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵sinB=2sinC，
∴由正弦定理知b=2c，
∴a=

b2+c2-2bccosC

=

4c2+c2-2•2c2• 1 2

=

3

c=3，
∴c=

3

，
∴b=2

3

∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

3

×2

3

×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查．