Question

16．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M、N是AB上的两个三等分点，且AB=6，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=8．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$，$|\overrightarrow{PO}|$=3，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{ON}$．代入计算即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$，$|\overrightarrow{PO}|$=3，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{ON}$．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{PO}}^{2}$+$\overrightarrow{PO}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}）$+$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$
=3²-$\frac{1}{36}×{6}^{2}$
=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．