Question

设常数a≥0，函数f（x）=x-（lnx）²+2alnx-1．
（1）若f（x）在x=1处的切线为3ax-y+b=0，求a、b的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，可求得f′（1）=1+2a=3a，从而可求得a的值，继而可求得b的值；
（2）依题意，可求得f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0），通过导数法对f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0）的探究，可求得f′（x）_min=1-

2

e2

＞0，从而可证结论．

解答：解：（1）∵f（x）=x-（lnx）²+2alnx-1，
∴f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2a

x

，
∵f（x）在x=1处的切线为3ax-y+b=0，
∴f′（1）=1+2a=3a，
∴a=1；
又a=1时，f（1）=0，即（1，0）在切线3x-y+b=0上，
∴b=-3，
∴f（x）=f（x）=x-（lnx）²+2lnx-1．
（2）∵f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0），
∴f″（x）=-2（

1-lnx

x2

）-

2

x2

=

4

x2

+

2lnx

x2

，
令f″（x）=0得：x=e²，
当0＜x＜e²时，f″（x）＜0，f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

在（0，e²）上单调递减，
当x＞e²时，f″（x）＞0，f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

在（e²，+∞）上单调递增，
∴x=e²时，f′（x）取得最小值，即f′（x）_min=1-

4

e2

+

2

e2

=1-

2

e2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，突出对二阶导数的研究，属于难题．