Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°．
（1）求证：BC⊥平面ACEF；
（2）求平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，AB∥CD，

AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，∴∠ADC=DCB=120°，∠DCA=∠DAC=30°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，

∴BC⊥平面ACEF

（2）解：取G为EF中点．连CG

∵四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°，∴CG⊥EF即CG⊥AC

与（1）同理可知CG平面ABCD

如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

则有 ，

， ，

设 是平面ABF的一个法向量，

则 ，即 ，取 ．

设 是平面ADF的一个法向量，则 ，即 ，取 ．

设平面ABF与平面ADF所成锐二面角为θ，则 ，

即平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）证明 BC⊥AC，由平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，得BC⊥平面ACEF （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出法向量即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．