Question

（2012•安徽模拟）设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定义域是[

π

4

，

11

24

π]，f(

π

4

)=

3

．给出下列几个命题：
①f（x）在x=

π

4

处取得小值；
②[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=

π

3

．
其中正确命题的序号是

②③④

．（将你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后由f（

π

4

）=

3

，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．根据函数单调性及最值即可选出答案．

解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x，
由f（

π

4

）=

3

，得

a

2

=

3

，解得a=2

3

．
所以f（x）=2sin（2x-

π

6

），
当x∈[

π

4

，

π

3

]时，2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，f（x）是增函数，
当x∈[

π

3

，

11π

24

]时，2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，f（x）是减函数，
所以函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值是：f（

π

3

）=2，
故③正确；
且当f（x）取得最大值的点仅有一个x=

π

3

．
故④正确；
由上述单调性知：[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一个单调递减区间，
故②正确；
又f（

π

4

）=

3

，f（

11π

24

）=

2

，
所以函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最小值为：f（

11π

24

）=

2

；
故①错误．
故答案为：②③④．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．