Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，DEF分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求E到平面AB₁F的距离．

Answer 1

分析：（1）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；
证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，因为D、E均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．
（2）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B₁F⊥AF，可以先证明AF⊥平面B₁BCC₁；利用勾股定理，易证明B₁F⊥FE
（3）本题的后两问是递进式的，第（2）问是为第（3）问作铺垫的．解决三棱锥求体积的问题，关键在于找到合适的高与对应的底面，切忌不审图形，盲目求解．由第（2）问易知，可将B₁F看成是高，Rt△AEF作为底面，得到VE-AB₁F=VB₁-AEF=

1

3

SRt△AEF．由此能求出E到平面AB₁F的距离．

解答：解：（1）方法1：设G是AB的中点，连接DG，则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法2：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．
由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，可证A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC（4分）
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴BC⊥AF，
又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁B⊥AF，（6分）
∵AB=AA₁=2，∴B₁F=

6

，EF=

3

，B1E=3，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥FE，
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）
（3）AF=

2

，SRt△AEF=

6

2

，（10分）
VE-AB1F=VB1-AEF=

1

3

SRt△AEF•B₁F=1．
∵B₁F⊥平面AEF，AF=B₁F=

2

，
∴S△AB1F=

1

2

×

2

×

2

=1．
设E到平面AB₁F的距离为h，
则

1

3

×1×h=1，解得h=3．（12分）

点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．