Question

设a为正实数，函数f（x）=ae^x的图象与y轴的交点为A，函数g（x）=ln

x

a

的图象与x轴的交点为B，若点A和函数g（x）=ln（

x

a

）的图象上任意一点的连线的长度的最小值为AB，求正实数a的值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意求出A（0，2a）、B（a，0），由AB取到最小值的条件求出a的值．

解答： 解：由题意得f（0）=a•e⁰=a，
则得坐标A（0，a），
由g（x）=ln

x

a

=0解得x=a，
则得坐标B（a，0），
若使A到B的长度为A到另一条曲线上任意点间距离的最小值，
则直线AB必垂直于曲线y=g（x）在B点的切线，
又g′（x）=

a

x

×

1

a

=

1

x

，
kAB=

a-0

0-a

=-1，
所以

1

a

×(-1)=-1，解得a=1．

点评：本题考查函数的导数及最值，属中档题．