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    数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．
    （1）若数列{an}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
    （2）若A=-
    1
    2
    ，B=-
    3
    2
    ，C=1，设bn=an+n，数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；
    （3）若C=0，{an}是首项为1的等差数列，设cn=
    		1+
    2
    an2
    +
    1
    an+12
    数列{cn}的前2014项和为P，求不超过P的最大整数的值．
    考点：数列的求和,等差关系的确定
    专题：等差数列与等比数列
    分析：（1）由已知条件得a1+(n-1)d+na1+
    1
    2
    n(n-1)d    =An2+Bn+C，因为对任意正整数n都成立，所以
    1
    2
    d-A=0
    a1+
    1
    2
    d-B=0
    a1-d-C=0
    ，由此能证明3A-B+C=0．
    （2）由已知条件推导出bn=(
    1
    2
    )n    ，从而得到nbn=
    n
    2n
    ．由此利用错位相减法能求出数列{nbn}的前n项和Tn．
    （3）由an=n，知cn=
    		1+
    2
    an2
    +
    1
    an+12
    =
    n2(n+1)2+(n+1)2+n2
    n2(n+1)2
    =1+
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ．由此利用裂项求和法能求出不超过P的最大整数的值．
    解答： （1）证明：∵数列{an}为等差数列，设公差为d，
    由an+Sn=An2+Bn+C，
    得a1+(n-1)d+na1+
    1
    2
    n(n-1)d    =An2+Bn+C，
    ∵对任意正整数n都成立，
    ∴
    1
    2
    d-A=0
    a1+
    1
    2
    d-B=0
    a1-d-C=0
    ，
    ∴3A-B+C=0．（6分）
    （2）解：∵an+Sn=-
    1
    2
    n2-
    3
    2
    n+1    ，∴a1=-
    1
    2
    ，
    当n≥2时，an-1+Sn-1=-
    1
    2
    (n-1)2-
    3
    2
    (n-1)+1    ，
    ∴2a1-an-1=-n-1，
    ∴2（an+n）=an-1+n-1，
    ∴bn=
    1
    2
    bn-1    ，n≥2，
    ∵b1=a1+1=
    1
    2
    ，
    ∴数列{bn}是首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    的等比数列，
    ∴bn=(
    1
    2
    )n    ．（9分）nbn=
    n
    2n
    ．
    ∴Tn=
    1
    2
    +
    2
    22
    +
    3
    23
    +…+
    n
    2n
    ①，
    1
    2
    Tn    =
    1
    22
    +
    2
    23
    +
    3
    24
    +…+
    n
    2n+1
    ，②
    得
    1
    2
    Tn    =
    1
    2
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +…+
    1
    2n
    -
    n
    2n+1

    =
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )n]
    1-
    1
    2
    -
    n
    2n+1

    =1-（
    1
    2
    ）n-
    n
    2n+1

    =1-
    2+n
    2n+1
    ．
    ∴Tn=2-
    2+n
    2n
    ．（12分）
    （3）解：∵{an}是首项为1的等差数列，
    由（1）知，公差d=1，∴an=n，
    ∵cn=
    		1+
    2
    an2
    +
    1
    an+12
    =
    n2(n+1)2+(n+1)2+n2
    n2(n+1)2

    =
    n(n+1)+1
    n(n+1)
    =1+
    1
    n(n+1)
    =1+
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ．
    ∴P=（1+
    1
    1
    -
    1
    2
    ）+（1+
    1
    2
    -
    1
    3
    ）+（1+
    1
    3
    -
    1
    4
    ）+…+（1+
    1
    2014
    -
    1
    2015
    ）
    =2015-
    1
    2015
    ．
    ∴不超过P的最大整数的值是2014．
    点评：本题考查等式的证明，考查数列的前n项和的求法，考查最大整数值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法和裂项求和法的合理运用．
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