Question

【题目】已知函数.（是自然对数的底数）

（1）求的单调递减区间；

（2）若函数，证明在上只有两个零点.（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）（k∈Z）．（2）见解析.

【解析】

（1）由f'（x）＜0得，利用正弦函数的单调性质可得f（x）的单调递减区间；

（2）依题意可得g'（x）＝ex（sinx+cosx）﹣2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，π）内各有一个零点，从而可证得结论成立．

（1）f（x）＝exsinx，定义域为R.．

由f'（x）＜0得，解得（k∈Z）．

∴f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

（2）∵g'（x）＝ex（sinx+cosx）﹣2，∴g'（x）＝2excosx．

∵x∈（0，π），∴当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．

∴g'（x）在上单调递增，在上单调递减，

又∵g'（0）＝1﹣2＜0，，g'（π）＝﹣eπ﹣2＜0，

∴g'（x）在（0，π）上图象大致如右图．

∴，，使得g'（x1）＝0，g'（x2）＝0，

且当x∈（0，x1）或x∈（x2，π）时，g'（x）＜0；当x∈（x1，x2）时，g'（x）＞0．

∴g（x）在（0，x1）和（x2，π）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．

∵g（0）＝0，∴g（x1）＜0．

∵，∴g（x2）＞0，

又∵g（π）＝﹣2π＜0，由零点存在性定理得，g（x）在（x1，x2）和（x2，π）内各有一个零点，

∴函数g（x）在（0，π）上有两个零点．