Question

5．已知直线经过点P（-1，2），倾斜角α=$\frac{3π}{4}$．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设l与抛物线y=x²相交于A、B两点，求线段AB的长和点P到A、B两点的距离之积；
（3）求线段AB中点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的参数方程进行求解即可．
（2）求出直线的普通方程，联立直线方程和抛物线方程，转化为一元二次方程利用韦达定理进行转化求解即可．
（3）利用中点坐标公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵直线经过点P（-1，2），倾斜角α=$\frac{3π}{4}$．
∴直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{3π}{4}=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}&{\;}\\{y=2+tsin\frac{3π}{4}=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}&{\;}\end{array}\right.$，t为参数．
（2）直线的普通方程为x+y=1，即y=1-x代入y=x²得x²+x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
则|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
|PA||PB|=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+（{x}_{1}+1）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}}$
=$\sqrt{2（{x}_{1}+1）^{2}}$$•\sqrt{2（{x}_{2}+1）^{2}}$=2|（x₁+1）（x₂+1）|=2|x₁x₂+（x₁+x₂）+1|=2|-1-1+1|=2，
（3）由（2）知x₁+x₂=-1，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{1}{2}$，即AB的中点横坐标为x₀=$-\frac{1}{2}$，纵坐标y₀=1-x₀=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即线段AB中点的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查直线参数方程的应用以及直线和抛物线位置关系的应用，利用转化法转化为一元二次方程，结合韦达定理进行转化求解是解决本题的关键．