Question

设{a_n}（n∈N^*）为等差数列，则使|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010成立的数列{a_n}的项数n的最大值是

50

．

Answer 1

分析：根据等差数列|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010，可得数列{a_n}中 的有正有负，不妨设

ak+1＞0 ak＜0

，根据题意可得d＞3，根据|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=2010，去绝对值求和，即可求得结果．

解答：解：{a_n}（n∈N^*）为等差数列，因为|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|，
∴{a_n}中的项一定满足

an＞0 an-1＜0

或

an＜0 an-1＞0

，
且项数n为偶数，设n=2k，k∈N^*，等差数列的公差为d，首项为a₁，不妨设

ak+1＞0 ak＜0

，
则a₁＜0，d＞0，且a_k+3＜0，由

ak+1＞0 ak+3＜0

可得d＞3，
∴|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-…-a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_2k=-2（a₁+a₂+…+a_k）+（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_2k）
=-2[ka₁+

k(k+1)

2

d]+2ka₁+

2k(2k+1)

2

d=k²d=2010，
∵d＞3，
∴k²d=2010＞3k²，解得k²＜670，而k∈N^*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010成立的数列{a_n}的项数n的最大值是50．
故答案为：50．

点评：本题考查了等差数列的性质，根据题意求出数列的项的特点和公差的范围是解题的关键，属中档题．