Question

在△ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，且最小角B使得函数f（x）=sin（2x+

π

6

）取得最值．
（1）求角B的值；
（2）若sinA+sinC=

2+ 3

2

，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由B是△ABC的最小角，又f（x）=sin（2B+

π

6

）取得最值时有2B+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即可解得B的值；
（2）∵由（1）及正弦定理可得a+c=2+

3

，两边平方可得：a²+c²+2ac=7+4

3

，又由余弦定理可得1+

3

ac=a²+c²，联立可解得ac的值，从而有S_△ABC=

1

2

acsinB可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵B是△ABC的最小角，
∴0＜B＜

π

2

，
∵f（x）=sin（2B+

π

6

）取得最值时有2B+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴可解得：B=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴B=

π

6

．
（2）∵由（1）及正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

1

1 2

=2
∴sinA=

a

2

，sinC=

c

2

∴sinA+sinC=

a+c

2

=

2+ 3

2

，可得a+c=2+

3

，两边平方可得：a²+c²+2ac=7+4

3

，…①
又∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入整理即有1+

3

ac=a²+c²，…②
∴②代入①可解得：ac=

6+4 3

2+ 3

∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

6+4 3

2+ 3

×

1

2

=

3

2

．

点评：本题主要考察了余弦定理、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，考察了三角函数的图象与性质，综合性较强，属于中档题．