Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}分别求l（P），l（Q）；
（2）求l（A）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据定义确定l（P），l（Q）；
（2）根据集合A的元素特点，求出求l（A）的最小值．

解答：解：（1）由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
得l（P）=5
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得
a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜a₃+a_n＜…＜a_n-1+a_n，
故a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即l（A）≥2n-3．
事实上，设a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差数列，考虑a_i+a_j（1≤i＜j≤n），
根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a_i+a_j=a₁+a_i+j-1；当i+j＞n时，a_i+a_j=a_i+j-n+a_n；
因此每个和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）等于a₁+a_k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a_l+a_n（2≤l≤n-1）中的一个．
故对这样的集合A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值为2n-3．

点评：本题主要考查集合元素和集合之间的关系，考查学生的推理能力．