Question

5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2c}$，则△ABC的形状为直角三角形．

Answer 1

分析 根据三角恒等变换和余弦定理、勾股定理，即可判断△ABC的形状．

解答 解：△ABC中，cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2c}$，
∴$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2c}$，
∴cosA=$\frac{b}{c}$；
又cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{b}{c}$，
∴b²+c²-a²=2b²，
∴c²=a²+b²，
∴C=90°；
△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了余弦定理和勾股定理的应用问题，是综合性题目．