Question

（2009•锦州一模）已知函数f（x）=alnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；  
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=1处取得极值-3-c，可得

f(1)=-3-c f′(1)=0

，解出即可；
（2）利用f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．即可求得其单调区间．
（3）要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需[f(x)]max≤-2c2≤-2c²．利用（2）即可得出函数f（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，从而b=-3．
又f′(x)=

a

x

+4bx3．
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′(x)=

12

x

-12x3=

12(1-x4)

x

（x＞0），
令f'（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=-3-c，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c²．
即2c²-c-3≤0，从而（2c-3）（c+1）≤0，
解得-1≤c≤

3

2

．
所以c的取值范围为[-1，

3

2

]．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，要注意分离参数法、转化法的运用．