【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,是等边三角形,侧面底面,,,,点是棱上靠近点的一个三等分点.
(1)求证:∥平面;
(2)设点是线段(含端点)上的动点,若直线与底面所成的角的正弦值为,求线段的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)取棱上靠近点的一个三等分点,连接,,易证四边形是平行四边形,所以∥,再利用线面平行的判定定理即可证明;
(2)作,垂足为点,由面面垂直的性质定理可得底面,以点为原点,为轴,过点且平行于的射线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,由得到的坐标,设,则的坐标为,进一步得到,又为平面的一个法向量,再利用线面角的计算公式即可得到,即的长.
(1)取棱上靠近点的一个三等分点,连接,.
因为,所以∥且.
因为∥,所以∥.
又因为,,所以.
所以四边形是平行四边形.
所以∥.
又因为平面,平面,
所以∥平面.
(2)作,垂足为点,如图所示.
因为是等边三角形,所以点是线段的中点.
因为侧面底面,侧面底面,,侧面,
所以底面.
所以以点为原点,为轴,过点且平行于的射线为轴,为轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,,,是等边三角形,
所以,.
所以点,.
因为点是棱上靠近点的一个三等分点,所以,
所以,所以,
故点的坐标是.
设,则的坐标是.所以.
而易知平面一个法向量为;
设与底面所成的角为.
因为直线与底面所成的角的正弦值为,所以.
因为,
所以
,
解得.
所以线段的长为.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣HKLE中,底面ABCD是边长为3的正方形,对角线AC与BD相交于点O,点F在线段AH上且,BE与底面ABCD所成角为.
(1)求证:AC⊥BE;
(2)M为线段BD上一点,且,求异面直线AM与BF所成角的余弦值.
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【题目】已知长轴长为的椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若经过点F2的直线l与C交于M,N两点,且M,N关于原点O的对称点分别为P,Q,求四边形MNPQ面积的最大值.
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【题目】已知向量=(cosx,sinx),=(cosx,﹣sinx),函数.
(1)若,x(0,),求tan(x+)的值;
(2)若,(,),,(0,),求的值.
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【题目】如图,在中,分别为的中点,为的一个三等分点(靠近点).将沿折起,记折起后点为,连接为上的一点,且,连接.
(1)求证:平面;
(2)若,直线与平面所成的角为,当最大时,求,并计算.
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