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【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,是等边三角形,侧面底面,点是棱上靠近点的一个三等分点.

1)求证:∥平面

2)设点是线段(含端点)上的动点,若直线与底面所成的角的正弦值为,求线段的长.

【答案】1)详见解析;(2

【解析】

1)取棱上靠近点的一个三等分点,连接,易证四边形是平行四边形,所以,再利用线面平行的判定定理即可证明;

2)作,垂足为点,由面面垂直的性质定理可得底面,以点为原点,轴,过点且平行于的射线为轴,轴,建立空间直角坐标系,由得到的坐标,设,则的坐标为,进一步得到,又为平面的一个法向量,再利用线面角的计算公式即可得到,即的长.

1)取棱上靠近点的一个三等分点,连接

因为,所以

因为,所以

又因为,所以

所以四边形是平行四边形.

所以

又因为平面平面

所以∥平面

2)作,垂足为点,如图所示.

因为是等边三角形,所以点是线段的中点.

因为侧面底面,侧面底面侧面

所以底面

所以以点为原点,轴,过点且平行于的射线为轴,轴,

建立如图所示的空间直角坐标系

因为是等边三角形,

所以

所以点

因为点是棱上靠近点的一个三等分点,所以

所以,所以

故点的坐标是

,则的坐标是.所以

而易知平面一个法向量为

与底面所成的角为

因为直线与底面所成的角的正弦值为,所以

因为

所以

解得

所以线段的长为

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