Question

设f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1）且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0，

3

2

]上的最大值和最小．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知

1+x＞0 3-x＞0

，从而解得定义域，再由f（1）=2求a；
（2）由（1）知，f（x）=log₂（1+x）（3-x），由x∈[0，

3

2

]知（1+x）（3-x）∈[3，4]，从而求最值．

解答： 解：（1）由题意知，

1+x＞0 3-x＞0

，
解得-1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（-1，3）；
再由f（1）=2得，
log_a（1+1）+log_a（3-1）=2；
故a=2；
（2）f（x）=log₂（1+x）（3-x），
∵x∈[0，

3

2

]，
∴（1+x）（3-x）∈[3，4]，
故f（x）在区间[0，

3

2

]上的最大值为f（1）=2；
f（x）在区间[0，

3

2

]上的最小值为f（0）=log₂3．

点评：本题考查了对数函数与二次函数的性质应用，属于基础题．