Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的通项公式；
（III）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n
所以，（3分）
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用叠加法得（6分）
（8分）
（III）（9分）
T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=，1×2²+2×2³++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得T_n
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（14分）
分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用叠加法得，由此得到数列{b_n}的通项公式．
（III），T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，再由错位相减求和法能得到数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意通项公式的求法和裂项求和法的运用．