Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1）且与x轴有唯一的交点（﹣1，0）． （Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数F（x）=f（x）﹣mx，若F（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣kx，x∈[﹣2，2]，记此函数的最小值为h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意得c=1， ，b2﹣4ac=0 解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x2+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣m）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，
当 或 ，即m≤﹣2或m≥6时，F（x）在[﹣2，2]上单调，
故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；
（Ⅲ）g（x）=x2+（2﹣k）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上
当 ，即k≤﹣2时，F（x）在[﹣2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=2k+1
当 即﹣2＜k≤6时，F（x）在 上递减，在 上递增
此时函数F（x）的最小值 ；
当 即k＞6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；
综上，函数F（x）的最小值
【解析】（I）依题意得c=1， ，b2﹣4ac=0，解方程组求出a，b，c值，可得f（x）的表达式；（Ⅱ）函数F（x）=x2+（2﹣m）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，若F（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，则区间在对称轴的一侧，进而得到实数m的取值范围；（Ⅲ）g（x）=x2+（2﹣k）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，不同情况下g（x）在区间[﹣2，2]上单调性，进而可得函数的最小值为h（k）的解析式．