【题目】如图所示,已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
(2)求证:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
【答案】
(1)解:如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),
B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).
设E点坐标为(0,2,t),则 =(﹣2,0,t), =(﹣2,0,﹣4).
∵BE⊥B1C,∴ =4+0﹣4t=0.
∴t=1,故CE=1.
(2)证明:由(1)得,E(0,2,1), =(﹣2,0,1),
又 =(﹣2,2,﹣4), =(2,2,0)
∴ =4+0﹣4=0,且 =﹣4+4+0=0.
∴ ⊥ 且 ⊥ ,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,
又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE,即A1C⊥平面BED
(3)解:由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量.
又 =(0,2,﹣4),
∴cos< , >= = .
∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为
【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出 、 ,利用 =0,即可求得结论;(2)证明 ⊥ 且 ⊥ ,可得A1C⊥DB,A1C⊥BE,从而可得A1C⊥平面BED;(3)由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
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【题目】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有 .
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(9x﹣23x)+f(29x﹣k)>0对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】设函数f(x)的定义域为D,如果x∈D,y∈D,使得f(x)=﹣f(y)成立,则称函数f(x)为“Ω函数”.给出下列四个函数:
①y=sinx;
②y=2x;
③y= ;
④f(x)=lnx,
则其中“Ω函数”共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)的值为( )
A.0
B.3
C.6
D.﹣
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【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况,市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到下表:(单位:人)
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;
②将频率视为概率,从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为,求的数学期望和方差.
参考公式:,其中.
参考数据:
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