已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(1)≥2;
(Ⅲ)求|α-β|的取值范围.
解(Ⅰ)(x)=3x2+2bx+c, ∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数, ∴当x=0时f(x)取到极大值, ∴(0)=0, ∴c=0. (Ⅱ)∵f(2)=0, ∴d=-4(b+2) (x)=3x2+2bx=0的两个根分别为x1=0,x2=-, ∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,∴x2=-≥2,∴b≤-3. ∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b≥2. (Ⅲ)∵α,2,β是方程f(x)=0的三根,可设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β), ∴f(x)=x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ, ∴ ∴ ∴|α-β|====. ∵b≤-3,∴|α-β|≥3. |
科目:高中数学 来源:成功之路·突破重点线·数学(学生用书) 题型:044
已知f(x)=+,并且x≠2kπ+,k∈Z;.
(1)化简f(x);
(2)是否存在x,使得tan·f(x)与相等?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2004全国各省市高考模拟试题汇编(天利38套)·数学 题型:044
已知f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)设A、B、C为△ABC内角,当f(A、B)取得最小值时,求∠C;
(2)当A+B=且A、B∈R时,y=f(A、B)的图像通过向量的平移得到函数y=2cos2A的图像,求向量.
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科目:高中数学 来源:成功之路·突破重点线·数学(学生用书) 题型:044
已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列(n为正偶数),又f(1)=n2,f(-1)=n.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)试比较f()与3的大小,并说明理由.
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