Question

【题目】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4 ，Q= a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，

∴ 万元

（2）解： ，依题意得 ，

故 ．

令 ，则 ，

当 ，即x=128时，f（x）max=282万元．

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．

【解析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2） ，依题意得 ，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．