Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1）（n∈N₊）．
（1）求数{a_n}的前n项和为S_n；
（2）若b_n=log₂a_n+1（n≥1，n∈N），设T_n为数列{

1

(n+1)(bn-1)

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先由数列递推式求出首项，再由数列递推式得到数列∴{S_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得数{a_n}的前n项和为S_n；
（2）求出等比数列的通项，代入b_n=log₂a_n+1求得b_n，进一步代入数列{

1

(n+1)(bn-1)

}后由裂项相消法求其前n项和．

解答： 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=2（a₁-1），∴a₁=2；
当n≥2时，S_n=2S_n-2S_n-1-2，
即S_n+2=2（S_n-1+2），
而S₁+2=4≠0，
∴{S_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
∴S_n=4•2^n-1-2=2ⁿ⁺¹-2．
当n=1时，上式成立，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2；
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n+1=n+1，
而

1

(n+1)(bn-1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．