Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S (0， -

1

2

)且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点，求|MN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把抛物线和直线方程联立消去y，根据△=0求出b，再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式，求得a；
（Ⅱ）将直线l：y=x-

1

2

与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理，即可求|AB|．

解答：解：（Ⅰ）直线x-y+b=0与抛物线y²=4x联立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）将直线l：y=x-

1

2

与椭圆方程联立，消去y可得3x²-2x-

3

2

=0
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2

3

，x₁x₂=-

1

2

∴|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

4 9 +2

=

2 11

3

点评：本题考查直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．