Question

设f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，则方程f（x）=0在[-1，1]内有

 

个实根．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据函数f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，判断b的取值范围，进而得到函数f（x）在R时是单调递增函数，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx+c，
∴f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函数，
∴当x∈[-1，1]时，f′（x）=3x²+b≥0恒成立，
则b≥0，
当b≥0时，f′（x）=3x²+b≥0在R上恒成立，
即f（x）在R上是单调递增函数，
∵且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，
∴函数在区间（-

1

2

，

1

2

）内存在唯一的一个零点，
故方程f（x）=0在[-1，1]内有1个根，
故答案为：1

点评：本题主要考查方程根的个数的判断．利用导数研究函数的单调性，求出b的取值范围是解决本题的关键．