Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴
（1）若x=1为f（x）的极值点，求f（x）的解析式
（2）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）考查导数的运用，理清题意，列出方程解出a、b、c，从而确定解析式
（2）考查学生构建函数能力，要求学生要有一定的转化能力，利用导数求出函数的极大值和极小值，数形结合解决

解答：解：由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为x轴，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2（4分）
（II）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，f′(x)=x2-ax．由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3-

a

2

t2+2=0，即t满足的方程为

2

3

t3-

a

2

t2+2=0．（6分）
过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三个相异的实根，即等价于方程

2

3

t3-

a

2

t2+2=0有三个相异的实根.设g(t)=

2

3

t3-

a

2

t2+2．g′(t)=2t2-at=2t(t-

a

2

)．由于a＞0，
故有
由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当

g(0)＞0 g( a 2 )＜0

时满足，
即

2＞0 2- a3 24 ＜0

，a＞2

3	6

．
∴a的取值范围是(2

3	6

，+∞).（12分）

点评：本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力，对学生有一定的能力要求，有一定的难度