Question

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤

π

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，其中n为正整数．
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，

π

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]，根据三角函数的特点判断f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，从而得出结论；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos²2θ，同理原式右边也等于cos²2θ，从而证明结论．
（3）当n=1时，f₁（θ）在[0，

π

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]上单调递增，求出最值；当n=3时，f₃（θ）在[0，

π

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]上为单调递增，求出最值；正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出f_n（θ）的最大值为f_n（

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）=0，最小值为f_n（0）=-1．

解答：解：（1）f₁（θ）、f₃（θ）在0≤θ≤

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，上均为单调递增的函数．
对于函数f₁（θ）=sinθ-cosθ，设 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，

π

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]，则
f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁），
∵sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁
∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂）函数f₁（θ）在[0，

π

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]上单调递增．
（2）∵原式左边=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=1-sin²2θ=cos²2θ．
又∵原式右边=（cos²θ-sin²θ）2=cos²2θ
∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．
（3）当n=1时，函数f₁（θ）在[0，

π

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]上单调递增，
∴_f1（θ）的最大值为f₁（

π

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）=0，最小值为f₁（0）=-1．
当n=3时，函数f₃（θ）在[0，

π

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]上为单调递增．
∴f₃（θ）的最大值为f₃（

π

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）=0，最小值为f₃（0）=-1．
下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ₂∈[0，

π

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]，且θ₁＜θ₂
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1  0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂ cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，从而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，

π

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]上为单调递增，
则f_n（θ）的最大值为f_n（

π

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）=0，最小值为f_n（0）=-1．
综上所述，当n为奇数时，函数f_n（θ）的最大值为0，最小值为-1．

点评：本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，一般根据定义判断函数的单调性，此题有一定难度．