Question

点P在直径为4的球面上，过P作两两垂直的三条弦PA，PB，PC，用S₁、S₂、S₃分别表示△PBC、△PCA、△PAB的面积，则S₁+S₂+S₃的最大值是

8

．

Answer 1

分析：根据PB，PC，PA两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质，球的直径为长方体的对角线，再利用基本不等式，即可求得S₁+S₂+S₃的最大值．

解答：解：设PB=b，PC=c，PA=a，PB，PC，PA两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质，有4²=a²+b²+c²．
∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
又S1+S2+S3=

1

2

(ab+bc+ac)≤

1

2

×16=8，当且仅当a=b=c取等号．
∴S₁+S₂+S₃的最大值是8．
故答案为：8

点评：本题考查球的内接几何体，考查基本不等式的运用，解题的关键是根据PB，PC，PA两两垂直，补形成长方体．