Question

如图，ABCD是矩形，过点D作PD⊥平面ABCD，连接PA、PB、PC，E是PC上的一点，且DE⊥PC，过E作EF⊥PB于F．
①求证DE⊥BC；
②求证：平面PBD⊥平面EFD．

Answer 1

分析：①由PD⊥平面ABCD，知平面PDC⊥平面ABCD，由此能够证明DE⊥BC．
②由DE⊥PC，DE⊥BC，知DE⊥PB，由EF⊥PB，知PB⊥平面EFD，由此能够证明平面PBD⊥平面EFD．

解答：证明：①∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PDC⊥平面ABCD，
又∵DE?平面PDC，
∴DE⊥BC．
②∵DE⊥PC，DE⊥BC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB，
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD，
又∵PB?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面EFD．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．