Question

某一种大型商品在A、B两地出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:按单位距离计算，A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地距离10 km.顾客选择A或B地购买这件商品的标准是:包括运费的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

Answer 1

以点C(－,0)为圆心，为半径的圆是两地购货区域的分界线，圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A地、B地之一购货.

以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为原点，建立坐标系.
∵AB=10，
∴A(－5，0)、B(5，0).设某地P的坐标为(x,y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，则B地运费为a元/千米.
∵P地居民的购货总费用满足条件:
价格+A地运费≤价格+B地运费，即
3a≤a,
两边平方整理得(x+)²+y²≤()².
∴以点C(－,0)为圆心，为半径的圆是两地购货区域的分界线，圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A地、B地之一购货.