如图,正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8,E、F分别为AD1,CD1中点,G、H分别为棱DA,DC上动点,且EH⊥FG.
(1)求GH长的取值范围;
(2)当GH取得最小值时,求证:EH与FG共面;并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.
(1)[2,4] (2)
【解析】
试题分析:解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设DG=a,DH=b,则E(4,0,4),F(0,4,4),G(a,0,0),H(0,b,0).
∴=(-4,b,-4),=(a,-4,-4).
∵EH⊥FG.
∴·=-4a-4b+16=0,则a+b=4,即b=4-a.
又G1H在棱DA,DC上,则0≤a≤8,0≤b≤8,从而0≤a≤4.
∴GH==.
∴GH取值范围是[2,4] . ……6分
(2)当GH=2时,a=2,b=2.
∴=(-2,2,0),=(-4,4,0),即=2.
∴EF∥GH,即EH与FG共面.
所以EF=2GH,EF∥GH,则.
设P(x1,y1,z1),则=(x1-4,y,z1-4).
∴x1=,y1=,z1=,即P(,,).
则P(,,)在底面上ABCD上的射影为M(,,0).又B(8,8,0),
所以为点P到直线的距离. ……12分
考点:空间中两点的距离,点到直线的距离
点评:关键是通过建立空间直角坐标系,然后表示点的坐标以及点在平面的射影得到距离,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
1 | 3 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com