Question

20．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[-1.3]=-2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，则[$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$]=0．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式可得数列{a_n}是递增数列，且a_n＞0，进一步得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$＜1，结合已知定义得答案．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n＞0，
∴数列{a_n}是递增数列，且a_n＞0，
则由a_n+1=a_n²+a_n，得$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+$$\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2017}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2017}}＜\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
又$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}＞0$，
∴[$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}$]=0．
故答案为：0．

点评 本题考查数列递推式，关键是由数列递推式得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，是中档题．