Question

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 略

解析:

解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

则V＝．     ……………… 4分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．            ……………… 6分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．       ……… 8分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 9分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 11分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 13分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 14分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．         ……11分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 14分