已知n∈N*.设函数fn(x)=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+-+(-1)n•$\frac{{x}^{n}}{n}$=f3(x)+ax2的图象在点B处的切线的斜率为1．(1)求a的值．(2)求z的取值范围.使不等式φ(x)≤z对于任意x∈[0.2]恒成立,(3)证明:存在无数个n∈N*.对任意给定的两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．已知n∈N^*，设函数f_n（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+（-1）ⁿ•$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．函数φ（x）=f₃（x）+ax²的图象在点B（1，φ（1））处的切线的斜率为1．
（1）求a的值．
（2）求z的取值范围，使不等式φ（x）≤z对于任意x∈[0，2]恒成立；
（3）证明：存在无数个n∈N^*，对任意给定的两个不同的x₁，x₂必有f_n（x₁）=f_n（x₂）成立．

分析（1）求得函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（2）由题意可得z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x²）_max，求得导数和单调区间，可得最值，即可得到所求范围；
（3）讨论n为偶数时，函数f_n（x）的导数和单调区间，即可得证．

解答解：（1）函数φ（x）=f₃（x）+ax²=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+ax²，
导数为φ′（x）=-1+x-x²+2ax，
在点B（1，φ（1））处的切线的斜率为-1+1-1+2a=1，
解得a=1；
（2）不等式φ（x）≤z对于任意x∈[0，2]恒成立，即为：
z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x²）_max，
由φ′（x）=-1+3x-x²，可得0＜x＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
在$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜x＜2，φ′（x）＞0，φ（x）递增．
即有x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，取得最小值，x=2时取得最大值，且为$\frac{7}{3}$．
则有z≥$\frac{7}{3}$；
（3）证明：当n为偶数时，函数f_n（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．
导数为f_n′（x）=-1+x-x²+x³-x⁴+…+x^n-1=（x-1）（1+x²+x⁴+…+x^n-2），
即有x＞1时，f_n′（x）＞0，f_n（x）递增；x＜1时，f_n′（x）＜0，f_n（x）递减．
则存在无数个n∈N^*，且n为偶数时，
对任意给定的两个不同的x₁，x₂必有f_n（x₁）=f_n（x₂）成立．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题和存在性问题的解法，注意运用导数求单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．

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