Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对一切x，y＞0，满足f（

x

y

）=f（x）-f（y），且f（4）=2．
（1）求f（2）的值；
（2）解不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜4．

Answer 1

分析：（1）依题意，令x=4，y=2即可求得f（2）的值；
（2）由f（4）=2，f（2）=1，f（x）=f（

x

y

）+f（y），可求得f（16）=4，于是有f（3x+9）＜f（16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，解相应的不等式组即可．

解答：解：（1）∵f（

x

y

）=f（x）-f（y），且f（4）=2，
∴f（2）=f（

4

2

）=f（4）-f（2），
∴2f（2）=f（4）=2，
∴f（2）=1；
（2）∵f（4）=2，f（2）=1，f（x）=f（

x

y

）+f（y），
∴f（16）=f（4）+f（4）=2+2=4，
∴f（x+3）-f（

1

3

）＜4=f（16），
即f（3x+9）＜f（16），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

3x+9＜16 3x+9＞0

，解得-3＜x＜

7

3

．
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜

7

3

}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性，考查赋值法与运算求解能力，属于中档题．