Question

若不等式4x²-log_ax＜0对任意x∈（0，

1

4

）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[

  1

  256

  ，1）
• B、（

  1

  256

  ，1）
• C、（0，

  1

  256

  ）
• D、（0，

  1

  256

  ]

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得，x∈（0，

1

4

）时，函数y=4x²的图象在函数y=log_ax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×(

1

4

)2≤loga

1

4

，解此对数不等式求得a的范围．

解答： 解：∵不等式4x²-log_ax＜0对任意x∈（0，

1

4

）恒成立，
∴x∈（0，

1

4

）时，函数y=4x²的图象在函数y=log_ax的图象的下方，∴0＜a＜1．
再根据它们的单调性可得4×(

1

4

)2≤loga

1

4

，即 log_aa

1

4

≤loga

1

4

，
∴a

1

4

≥

1

4

，∴a≥

1

256

．
综上可得，

1

256

≤a＜1，
故选：A．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．