【题目】如图,在几何体中,四边形
是矩形,
平面
,
.
,
分别是线段
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求与平面
所成角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(I)做出辅助线,由题意可证得结合线面平行的判断定理可得
平面
.
(II)由题意建立空间直角坐标系,结合直线的方向向量和平面的法向量可得与平面
所成角的正切值是
.
试题解析:
(Ⅰ)证明:取中点
,连接
.在
中,
分别是线段
的中点,所以
且
;又在矩形
中,
且
,故
且
,四边形
是平行四边形,
面
,
面
,所以
平面
.
(Ⅱ)方法一:如图,把原几何体补成一个以等腰直角三角形为底面的直三棱柱.由于
,所以
与平面
所成角即为
与平面
所成角.
又面
,所以
为
与平面
所成角的平面角.
.
与平面
所成角的正切值
.
解法二:如图,以为坐标原点,
分别为
轴,
轴建立空间直角坐标系,则
.所以
,
又平面
,所以平面
的法向量可为
.
设与平面
所成角为
,
,
所以与平面
所成角的正切值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟订的价格进行试销得到如下数据:
单价x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(件) | 92 | 82 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求出y关于x的线性回归方程 .其中
=250
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元每件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为(米/单位时间),每单位时间的用氧量为
(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为
(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为
(升).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)若 ,求当下潜速度
取什么值时,总用氧量最少.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f (x)= 的定义域集合是A,函数g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的定义域集合是B.
(1)求集合A,B.
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为 ;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2 , 则他对这两种交易的综合满意度为
.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲 , 乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 .
(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式;当mA= mB时,求证:h甲=h乙;
(2)设mA= mB , 当mA、mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
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【题目】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足 ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入﹣总成本);
(2)要使工厂有盈利,求产量x的范围;
(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设椭圆:
的离心率为
,
分别为椭圆
的左、右顶点,
为右焦点,直线
与
的交点到
轴的距离为
,过点
作
轴的垂线
,
为
上异于点
的一点,以
为直径作圆
.
(1)求的方程;
(2)若直线与
的另一个交点为
,证明:直线
与圆
相切.
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