Question

将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.5²）．
（1）若d=90°，求ξ＜89的概率；
（2）若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少是多少？（其中若η～N（0，1），则
Φ（2）=P（η＜2）=0.9772，Φ（-2.327）=P（η＜-2.327）=0.01）．

Answer 1

分析：（1）要求P（ξ＜89）=F（89），∵ξ～N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值求解．
（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解出d即可．

解答：解：（1）P（ξ＜89）=F（89）=Φ（

89-90

0.5

）
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（

80-d

0.5

）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴

80-d

0.5

≤-2.327．
∴d≤81.1635．
故d至少为81.1635．

点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义以及正态分布的标准化：若ξ～N（μ，?），则η=

ξ-μ

σ

～N（0，1）．