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20.数列{an}前n项和为Sn,且an+Sn=-2n-1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log2$\frac{1}{{a}_{n}+2}$,证明:$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{b}_{k}{b}_{k+1}}$<1.

分析 (1)通过an+Sn=-2n-1与an+1+Sn+1=-2n-3作差、整理可知an+1=$\frac{1}{2}$an-1,进而可知数列{an+2}是首项为a1+2=$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,计算即得结论;
(2)通过(1)裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,并项相加即得结论.

解答 (1)解:因为an+Sn=-2n-1,所以an+1+Sn+1=-2n-3,
两式相减,有an+1-an+Sn+1-Sn=-2,即an+1=$\frac{1}{2}$an-1,
所以an+1+2=$\frac{1}{2}$(an+2),
又因为当n=1时,a1+S1=-3,
所以a1=-$\frac{3}{2}$,
所以数列{an+2}是首项为a1+2=$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,
所以an+2=$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴an=-2+$\frac{1}{{2}^{n}}$;
(2)证明:由(1)得bn=log2$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=n,
所以$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
所以$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{b}_{k}{b}_{k+1}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$<1.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,裂项求和是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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