Question

1．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{ex}$
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=2，证明：对任意的实数x＞0，都有f（x）＞e^-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为证明elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$，先证出e^x≥x+1，再证明elnx+$\frac{1}{x}$≥0，令F（x）=elnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ex-a}{{ex}^{2}}$，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{a}{e}$）递减，在（$\frac{a}{e}$，+∞）递增；
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；
a＞0时，f（x）在（0，$\frac{a}{e}$）递减，在（$\frac{a}{e}$，+∞）递增；
（Ⅱ）要证明f（x）＞e^-x，
即证明elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$，
下面证明：e^x≥x+1，
构造函数h（x）=e^x-（x+1），（x≥0），h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=0，得：x=0，
x≥0时，h′（x）≥0即h（x）在[0，+∞）递增，
∴h（x）≥h（0）=0，
于是有e^x＞x+1，x＞0，
故x＞0时，e^x-1＞x，
从而$\frac{1}{{e}^{x-1}}$＜$\frac{1}{x}$，
下面只需证明elnx+$\frac{2}{x}$≥$\frac{1}{x}$，
即证elnx+$\frac{1}{x}$≥0，
令F（x）=elnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），
则F′（x）=$\frac{e}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ex-1}{{x}^{2}}$，
故F（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
即F（x）≥F（$\frac{1}{e}$）=0，
∵x=$\frac{1}{e}$时，e^x-1＞x，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{x-1}}$＜$\frac{1}{x}$，
∴elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．